Intégrale de $$$e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cos{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\cos{\left(x \right)} dx = du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$ :

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} d x} = e^{\sin{\left(x \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} d x} = e^{\sin{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{\sin{\left(x \right)}} + C$$$A