Intégrale de $$$\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}\, dx$$$.

Soit $$$u=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x^{2} + 1}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{x^{2} + 1} = du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ :

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1} d x} = e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1} d x} = e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}\, dx = e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} + C$$$A