Intégrale de $$$x^{5} e^{7}$$$

Déterminez $$$\int x^{5} e^{7}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=e^{7}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{5}$$$ :

$${\color{red}{\int{x^{5} e^{7} d x}}} = {\color{red}{e^{7} \int{x^{5} d x}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=5$$$ :

$$e^{7} {\color{red}{\int{x^{5} d x}}}=e^{7} {\color{red}{\frac{x^{1 + 5}}{1 + 5}}}=e^{7} {\color{red}{\left(\frac{x^{6}}{6}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{5} e^{7} d x} = \frac{x^{6} e^{7}}{6}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{5} e^{7} d x} = \frac{x^{6} e^{7}}{6}+C$$

$$$\int x^{5} e^{7}\, dx = \frac{x^{6} e^{7}}{6} + C$$$A