Intégrale de $$$\frac{e^{- y}}{y}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$.

Soit $$$u=- y$$$.

Alors $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dy = - du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Cette intégrale (Intégrale exponentielle) n’admet pas de forme fermée :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=- y$$$ :

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A