Intégrale de $$$e^{- x \left(a - b\right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=- x \left(a - b\right)$$$.

Alors $$$du=\left(- x \left(a - b\right)\right)^{\prime }dx = - (a - b) dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - \frac{du}{a - b}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{- a + b}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a + b}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a + b} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a + b}$$

Rappelons que $$$u=- x \left(a - b\right)$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a + b} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- x \left(a - b\right)\right)}}}}{- a + b}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{- a + b}$$

Simplifier:

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b}+C$$

$$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b} + C$$$A