Intégrale de $$$e^{- t \left(a + s\right)}$$$ par rapport à $$$t$$$

Déterminez $$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt$$$.

Soit $$$u=- t \left(a + s\right)$$$.

Alors $$$du=\left(- t \left(a + s\right)\right)^{\prime }dt = - (a + s) dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = - \frac{du}{a + s}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{- a - s}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a - s}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a - s} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a - s}$$

Rappelons que $$$u=- t \left(a + s\right)$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a - s} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- t \left(a + s\right)\right)}}}}{- a - s}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{- a - s}$$

Simplifier:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}+C$$

$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s} + C$$$A