Intégrale de $$$e^{\frac{p^{2}}{4}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp$$$.

Soit $$$u=\frac{p}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{p}{2}\right)^{\prime }dp = \frac{dp}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dp = 2 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur imaginaire) n’admet pas de forme fermée :

$$2 {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{p}{2}$$$ :

$$\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{p}{2}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)} + C$$$A