Intégrale de $$$e^{- p^{2} - q^{2}}$$$ par rapport à $$$p$$$

Déterminez $$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp$$$.

Réécrivez l'intégrande:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p}}} = {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$ avec $$$c=e^{- q^{2}}$$$ et $$$f{\left(p \right)} = e^{- p^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}} = {\color{red}{e^{- q^{2}} \int{e^{- p^{2}} d p}}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur) n’admet pas de forme fermée :

$$e^{- q^{2}} {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} d p}}} = e^{- q^{2}} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2} + C$$$A