Intégrale de $$$e^{\frac{y}{x}}$$$ par rapport à $$$y$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$.

Soit $$$u=\frac{y}{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dy = x du$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=x$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{y}{x}$$$ :

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A