Intégrale de $$$e^{\frac{x}{4}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{x}{4}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{4}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{4}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 4 du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=4$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(4 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$4 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 4 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{4}$$$ :

$$4 e^{{\color{red}{u}}} = 4 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{4}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{x}{4}} d x} = 4 e^{\frac{x}{4}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{x}{4}} d x} = 4 e^{\frac{x}{4}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{4}}\, dx = 4 e^{\frac{x}{4}} + C$$$A