Intégrale de $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ par rapport à $$$u$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Soit $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Alors $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = v dw$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ avec $$$c=v$$$ et $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$ :

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$ :

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Rappelons que $$$w=\frac{u}{v}$$$ :

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A