Intégrale de $$$e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sec^{2}{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx = \frac{du}{2}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2 u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}{2}\right)}}$$

Cette intégrale (Intégrale exponentielle) n’admet pas de forme fermée :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\sec^{2}{\left(x \right)}$$$ :

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\sec^{2}{\left(x \right)}}} \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + C$$$A