Intégrale de $$$e^{i a x^{2}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{i a x^{2}}\, dx$$$.

Soit $$$u=x \sqrt{i a}$$$.

Alors $$$du=\left(x \sqrt{i a}\right)^{\prime }dx = \sqrt{i a} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{\sqrt{i a}}$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{e^{i a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{\sqrt{i a}}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{\sqrt{i a}}}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur imaginaire) n’admet pas de forme fermée :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{\sqrt{i a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{i a}}$$

Rappelons que $$$u=x \sqrt{i a}$$$ :

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{i a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{x \sqrt{i a}}} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}+C$$

$$$\int e^{i a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}} + C$$$A