Intégrale de $$$e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{33} \sqrt{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{33} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{33}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 \sqrt{33} du}{33}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{33} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{2}{33}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{33} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{u e^{u} d u}}{33}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{u e^{u} d u}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$.

Soient $$$\operatorname{g}=u$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Donc $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$$\frac{2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}}{33}=\frac{2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}}{33}=\frac{2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}}{33}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{2 u e^{u}}{33} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{33} = \frac{2 u e^{u}}{33} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{33}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{33} \sqrt{x}$$$ :

$$- \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{33} + \frac{2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}}}{33} = - \frac{2 e^{{\color{red}{\sqrt{33} \sqrt{x}}}}}{33} + \frac{2 {\color{red}{\sqrt{33} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{33} \sqrt{x}}}}}{33}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \sqrt{33} \sqrt{x} e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33} - \frac{2 e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33}$$

Simplifier:

$$\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{33} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\sqrt{33} \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{33} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}\, dx = \frac{2 \left(\sqrt{33} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{33} \sqrt{x}}}{33} + C$$$A