Intégrale de $$$e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}\, dt$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\sin{\left(3 t \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{3 t} dt$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(3 t \right)}\right)^{\prime }dt=3 \cos{\left(3 t \right)} dt$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 t} d t}=\frac{e^{3 t}}{3}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(3 t \right)} \cdot \frac{e^{3 t}}{3}-\int{\frac{e^{3 t}}{3} \cdot 3 \cos{\left(3 t \right)} d t}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - \int{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)} d t}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=\cos{\left(3 t \right)}$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{3 t} dt$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(3 t \right)}\right)^{\prime }dt=- 3 \sin{\left(3 t \right)} dt$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 t} d t}=\frac{e^{3 t}}{3}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - {\color{red}{\int{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)} d t}}}=\frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - {\color{red}{\left(\cos{\left(3 t \right)} \cdot \frac{e^{3 t}}{3}-\int{\frac{e^{3 t}}{3} \cdot \left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right) d t}\right)}}=\frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)}}{3} - \int{\left(- e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}\right)d t}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}$$$ :

$$\frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - \frac{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)}}{3} + {\color{red}{\int{\left(- e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}\right)d t}}} = \frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - \frac{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)}}{3} + {\color{red}{\left(- \int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

Nous obtenons une intégrale que nous avons déjà vue.

Ainsi, nous avons obtenu l’équation simple suivante concernant l’intégrale :

$$\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t} = \frac{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}}{3} - \frac{e^{3 t} \cos{\left(3 t \right)}}{3} - \int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t}$$

En résolvant, on obtient que

$$\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(3 t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}\right) e^{3 t}}{6}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(3 t \right)} - \cos{\left(3 t \right)}\right) e^{3 t}}{6}$$

Simplifier:

$$\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{3 t} \cos{\left(3 t + \frac{\pi}{4} \right)}}{6}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{3 t} \cos{\left(3 t + \frac{\pi}{4} \right)}}{6}+C$$

$$$\int e^{3 t} \sin{\left(3 t \right)}\, dt = - \frac{\sqrt{2} e^{3 t} \cos{\left(3 t + \frac{\pi}{4} \right)}}{6} + C$$$A