Intégrale de $$$e^{- \frac{x}{a}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{- \frac{x}{a}}\, dx$$$.

Soit $$$u=- \frac{x}{a}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{a} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - a du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- a e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- a$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- a e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- a \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - a {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{x}{a}$$$ :

$$- a e^{{\color{red}{u}}} = - a e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{a}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- \frac{x}{a}} d x} = - a e^{- \frac{x}{a}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- \frac{x}{a}} d x} = - a e^{- \frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{a}}\, dx = - a e^{- \frac{x}{a}} + C$$$A