Intégrale de $$$e^{- a x^{2}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{- a x^{2}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{a} x$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{a} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{a} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{\sqrt{a}}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{- a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\sqrt{a}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{\sqrt{a}}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\sqrt{a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{- u^{2}} d u}}{\sqrt{a}}}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur) n’admet pas de forme fermée :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\sqrt{a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{a}}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{a} x$$$ :

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\sqrt{a} x}} \right)}}{2 \sqrt{a}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}}+C$$

$$$\int e^{- a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}} + C$$$A