Intégrale de $$$e^{x} + e^{- x}$$$

Déterminez $$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{e^{- x} d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$ :

$$\int{e^{- x} d x} + {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = \int{e^{- x} d x} + {\color{red}{e^{x}}}$$

Soit $$$u=- x$$$.

Alors $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - du$$$.

Par conséquent,

$$e^{x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = e^{x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$e^{x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = e^{x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- x$$$ :

$$e^{x} - e^{{\color{red}{u}}} = e^{x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = e^{x} - e^{- x}$$

Simplifier:

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx = 2 \sinh{\left(x \right)} + C$$$A