Intégrale de $$$\cot{\left(t \right)}$$$

Déterminez $$$\int \cot{\left(t \right)}\, dt$$$.

Réécrivez la cotangente sous la forme $$$\cot\left(t\right)=\frac{\cos\left(t\right)}{\sin\left(t\right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\cot{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(t \right)}}{\sin{\left(t \right)}} d t}}}$$

Soit $$$u=\sin{\left(t \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sin{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt = \cos{\left(t \right)} dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\cos{\left(t \right)} dt = du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(t \right)}}{\sin{\left(t \right)}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\sin{\left(t \right)}$$$ :

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(t \right)}}}}\right| \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\cot{\left(t \right)} d t} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(t \right)}}\right| \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\cot{\left(t \right)} d t} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(t \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \cot{\left(t \right)}\, dt = \ln\left(\left|{\sin{\left(t \right)}}\right|\right) + C$$$A