Intégrale de $$$\cos{\left(\frac{u}{v} \right)}$$$ par rapport à $$$u$$$

Déterminez $$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du$$$.

Soit $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Alors $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = v dw$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ avec $$$c=v$$$ et $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}} = {\color{red}{v \int{\cos{\left(w \right)} d w}}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$ :

$$v {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}} = v {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}$$

Rappelons que $$$w=\frac{u}{v}$$$ :

$$v \sin{\left({\color{red}{w}} \right)} = v \sin{\left({\color{red}{\frac{u}{v}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)} + C$$$A