Intégrale de $$$\cos^{4}{\left(7 x \right)}$$$

Déterminez $$$\int \cos^{4}{\left(7 x \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=7 x$$$.

Alors $$$du=\left(7 x\right)^{\prime }dx = 7 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{7}$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{7} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{7}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos^{4}{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{4}{\left(u \right)} d u}}{7}\right)}}$$

Appliquer la formule de réduction de puissance $$$\cos^{4}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$ avec $$$\alpha= u $$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos^{4}{\left(u \right)} d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{7}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{8}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}{8}\right)}}}{7}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}}}{56} = \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d u} + \int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u} + \int{\cos{\left(4 u \right)} d u}\right)}}}{56}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=3$$$:

$$\frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{3 d u}}}}{56} = \frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\left(3 u\right)}}}{56}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=4$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{56} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{56}$$

Soit $$$v=2 u$$$.

Alors $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = \frac{dv}{2}$$$.

Ainsi,

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{14} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{14}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{14} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{14}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{28} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{28}$$

Rappelons que $$$v=2 u$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{28} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{28}$$

Soit $$$v=4 u$$$.

Alors $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = \frac{dv}{4}$$$.

Ainsi,

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}}}{56} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{56}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{56} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{4}\right)}}}{56}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{224} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{224}$$

Rappelons que $$$v=4 u$$$ :

$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{224} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 u\right)}} \right)}}{224}$$

Rappelons que $$$u=7 x$$$ :

$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{u}} \right)}}{224} + \frac{3 {\color{red}{u}}}{56} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{224} + \frac{3 {\color{red}{\left(7 x\right)}}}{56}$$

Par conséquent,

$$\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$$

Simplifier:

$$\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{84 x + 8 \sin{\left(14 x \right)} + \sin{\left(28 x \right)}}{224}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{84 x + 8 \sin{\left(14 x \right)} + \sin{\left(28 x \right)}}{224}+C$$

$$$\int \cos^{4}{\left(7 x \right)}\, dx = \frac{84 x + 8 \sin{\left(14 x \right)} + \sin{\left(28 x \right)}}{224} + C$$$A