Intégrale de $$$e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$$$

Déterminez $$$\int e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=e^{9}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{9} \int{\sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}}$$

Soit $$$u=\sin{\left(7 x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\sin{\left(7 x \right)}\right)^{\prime }dx = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\cos{\left(7 x \right)} dx = \frac{du}{7}$$$.

L’intégrale devient

$$e^{9} {\color{red}{\int{\sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}} = e^{9} {\color{red}{\int{\frac{u}{7} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{7}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = u$$$ :

$$e^{9} {\color{red}{\int{\frac{u}{7} d u}}} = e^{9} {\color{red}{\left(\frac{\int{u d u}}{7}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=1$$$ :

$$\frac{e^{9} {\color{red}{\int{u d u}}}}{7}=\frac{e^{9} {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{7}=\frac{e^{9} {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{7}$$

Rappelons que $$$u=\sin{\left(7 x \right)}$$$ :

$$\frac{e^{9} {\color{red}{u}}^{2}}{14} = \frac{e^{9} {\color{red}{\sin{\left(7 x \right)}}}^{2}}{14}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = \frac{e^{9} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}{14}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = \frac{e^{9} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}{14}+C$$

$$$\int e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx = \frac{e^{9} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}{14} + C$$$A