Intégrale de $$$\cos{\left(2 \theta \right)}$$$

Déterminez $$$\int \cos{\left(2 \theta \right)}\, d\theta$$$.

Soit $$$u=2 \theta$$$.

Alors $$$du=\left(2 \theta\right)^{\prime }d\theta = 2 d\theta$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$d\theta = \frac{du}{2}$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=2 \theta$$$ :

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 \theta\right)}} \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta} = \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta} = \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{2}+C$$

$$$\int \cos{\left(2 \theta \right)}\, d\theta = \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{2} + C$$$A