Intégrale de $$$9 e^{\frac{x}{4}}$$$

Déterminez $$$\int 9 e^{\frac{x}{4}}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=9$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{4}}$$$ :

$${\color{red}{\int{9 e^{\frac{x}{4}} d x}}} = {\color{red}{\left(9 \int{e^{\frac{x}{4}} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{4}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{4}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 4 du$$$.

Par conséquent,

$$9 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{4}} d x}}} = 9 {\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=4$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$9 {\color{red}{\int{4 e^{u} d u}}} = 9 {\color{red}{\left(4 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$36 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 36 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{4}$$$ :

$$36 e^{{\color{red}{u}}} = 36 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{4}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{9 e^{\frac{x}{4}} d x} = 36 e^{\frac{x}{4}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{9 e^{\frac{x}{4}} d x} = 36 e^{\frac{x}{4}}+C$$

$$$\int 9 e^{\frac{x}{4}}\, dx = 36 e^{\frac{x}{4}} + C$$$A