Intégrale de $$$5 \sin{\left(5 x \right)}$$$

Déterminez $$$\int 5 \sin{\left(5 x \right)}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=5$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{5 \sin{\left(5 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \int{\sin{\left(5 x \right)} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=5 x$$$.

Alors $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{5}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$5 {\color{red}{\int{\sin{\left(5 x \right)} d x}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{5}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$5 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}} = 5 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=5 x$$$ :

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(5 x\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{5 \sin{\left(5 x \right)} d x} = - \cos{\left(5 x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{5 \sin{\left(5 x \right)} d x} = - \cos{\left(5 x \right)}+C$$

$$$\int 5 \sin{\left(5 x \right)}\, dx = - \cos{\left(5 x \right)} + C$$$A