Intégrale de $$$5 e^{2 x}$$$

Déterminez $$$\int 5 e^{2 x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=5$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$ :

$${\color{red}{\int{5 e^{2 x} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \int{e^{2 x} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=2 x$$$.

Alors $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Donc,

$$5 {\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$5 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 5 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{5 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{5 {\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=2 x$$$ :

$$\frac{5 e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{5 e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{5 e^{2 x} d x} = \frac{5 e^{2 x}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{5 e^{2 x} d x} = \frac{5 e^{2 x}}{2}+C$$

$$$\int 5 e^{2 x}\, dx = \frac{5 e^{2 x}}{2} + C$$$A