Intégrale de $$$4 y e^{- y^{2}}$$$

Déterminez $$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$.

Soit $$$u=- y^{2}$$$.

Alors $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$y dy = - \frac{du}{2}$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- y^{2}$$$ :

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A