Intégrale de $$$4 t e^{t}$$$

Déterminez $$$\int 4 t e^{t}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=4$$$ et $$$f{\left(t \right)} = t e^{t}$$$ :

$${\color{red}{\int{4 t e^{t} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{t e^{t} d t}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{t e^{t} d t}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=t$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$4 {\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}=4 {\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}=4 {\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$ :

$$4 t e^{t} - 4 {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = 4 t e^{t} - 4 {\color{red}{e^{t}}}$$

Par conséquent,

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 t e^{t} - 4 e^{t}$$

Simplifier:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int 4 t e^{t}\, dt = 4 \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A