Intégrale de $$$3 x^{2} e^{x}$$$

Déterminez $$$\int 3 x^{2} e^{x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=3$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{3 x^{2} e^{x} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} e^{x} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{x^{2} e^{x} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{x} d x}}}=3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 x d x}\right)}}=3 {\color{red}{\left(x^{2} e^{x} - \int{2 x e^{x} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$ :

$$3 x^{2} e^{x} - 3 {\color{red}{\int{2 x e^{x} d x}}} = 3 x^{2} e^{x} - 3 {\color{red}{\left(2 \int{x e^{x} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{x e^{x} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

L’intégrale devient

$$3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$ :

$$3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 {\color{red}{e^{x}}}$$

Par conséquent,

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}$$

Simplifier:

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+C$$

$$$\int 3 x^{2} e^{x}\, dx = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$$$A