Intégrale de $$$6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}}$$$

Déterminez $$$\int 6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}}\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}} d x}=\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x}$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=6 \sqrt{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{3}{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \sqrt{2} \int{x^{\frac{3}{2}} d x}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=\frac{3}{2}$$$ :

$$6 \sqrt{2} {\color{red}{\int{x^{\frac{3}{2}} d x}}}=6 \sqrt{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=6 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x} = \frac{12 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x} = \frac{12 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}+C$$

$$$\int 6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}}\, dx = \frac{12 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$$$A