Intégrale de $$$2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$$$

Déterminez $$$\int 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=x^{2}$$$.

Alors $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{2 x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=x^{2}$$$ :

$$\sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sin{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{2 x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \sin{\left(x^{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \sin{\left(x^{2} \right)}+C$$

$$$\int 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx = \sin{\left(x^{2} \right)} + C$$$A