Intégrale de $$$2 e^{2 y}$$$

Déterminez $$$\int 2 e^{2 y}\, dy$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(y \right)} = e^{2 y}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 e^{2 y} d y}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 y} d y}\right)}}$$

Soit $$$u=2 y$$$.

Alors $$$du=\left(2 y\right)^{\prime }dy = 2 dy$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dy = \frac{du}{2}$$$.

Ainsi,

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 y} d y}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=2 y$$$ :

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(2 y\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}+C$$

$$$\int 2 e^{2 y}\, dy = e^{2 y} + C$$$A