Intégrale de $$$2 \cos^{2}{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Appliquer la formule de réduction de puissance $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ avec $$$\alpha=x$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + 1$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}{2}\right)}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{x}}$$

Soit $$$u=2 x$$$.

Alors $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$x + {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}} = x + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$x + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = x + {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$x + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = x + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=2 x$$$ :

$$x + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = x + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{2 \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{2 \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + C$$$A