Intégrale de $$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}$$$

Déterminez $$$\int \left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{3}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{\sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}{2}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 2 du$$$.

L’intégrale devient

$$- \frac{3 {\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}}}{2} = - \frac{3 {\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$- \frac{3 {\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = - \frac{3 {\color{red}{\left(2 \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$- 3 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = - 3 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$ :

$$3 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = 3 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)d x} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)d x} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}+C$$

$$$\int \left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)\, dx = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + C$$$A