Intégrale de $$$-1 + \frac{1}{x}$$$

Déterminez $$$\int \left(-1 + \frac{1}{x}\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{\frac{1}{x} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\int{\frac{1}{x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{1}{x} d x} - {\color{red}{x}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{x}$$$ est $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ :

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = - x + {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(-1 + \frac{1}{x}\right)d x} = - x + \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(-1 + \frac{1}{x}\right)d x} = - x + \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \left(-1 + \frac{1}{x}\right)\, dx = \left(- x + \ln\left(\left|{x}\right|\right)\right) + C$$$A