Intégrale de $$$\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\sqrt{x - 1}}{x}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{x - 1}$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{x - 1}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x - 1}} = 2 du$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x - 1}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{u^{2} + 1} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

Réécrire et décomposer la fraction:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u^{2} + 1}\right)d u}}}$$

Intégrez terme à terme:

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u^{2} + 1}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- 2 \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = - 2 \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} + 2 {\color{red}{u}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ :

$$2 u - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = 2 u - 2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{x - 1}$$$ :

$$- 2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} + 2 {\color{red}{u}} = - 2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\sqrt{x - 1}}} \right)} + 2 {\color{red}{\sqrt{x - 1}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sqrt{x - 1}}{x} d x} = 2 \sqrt{x - 1} - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sqrt{x - 1}}{x} d x} = 2 \sqrt{x - 1} - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x - 1}}{x}\, dx = \left(2 \sqrt{x - 1} - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x - 1} \right)}\right) + C$$$A