Intégrale de $$$\frac{2 i n t}{x^{2} + 1}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{2 i n t}{x^{2} + 1}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=2 i n t$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\left(2 i n t \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}\right)}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ :

$$2 i n t {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}} = 2 i n t {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x} = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x} = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{2 i n t}{x^{2} + 1}\, dx = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)} + C$$$A