Intégrale de $$$\frac{1}{x^{2} - 4}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{x^{2} - 4}\, dx$$$.

Effectuer la décomposition en fractions partielles (les étapes peuvent être vues »):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} - 4} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}\right)d x}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - \int{\frac{1}{4 \left(x + 2\right)} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$$$ :

$$\int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(x + 2\right)} d x}}} = \int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x + 2} d x}}{4}\right)}}$$

Soit $$$u=x + 2$$$.

Alors $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Donc,

$$\int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x + 2} d x}}}}{4} = \int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = \int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=x + 2$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}\right| \right)}}{4} + \int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 2}$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + {\color{red}{\int{\frac{1}{4 \left(x - 2\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 2} d x}}{4}\right)}}$$

Soit $$$u=x - 2$$$.

Alors $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

L’intégrale devient

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x - 2} d x}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=x - 2$$$ :

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{4} - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{4} - \frac{\ln{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} - 4}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{x - 2}\right|\right)}{4} - \frac{\ln\left(\left|{x + 2}\right|\right)}{4}\right) + C$$$A