Intégrale de $$$\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$$$.

Soit $$$x=2 \sin{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dx=\left(2 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \cos{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

Par conséquent,

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( u \right)}}$$$

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ :

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A