Intégrale de $$$\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $$$\frac{1}{\cosh^{2}{\left(x \right)}}$$$ et convertissez $$$\frac{\cosh^{2}{\left(x \right)}}{\sinh^{2}{\left(x \right)}}$$$ en $$$\frac{1}{\tanh^{2}{\left(x \right)}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{4}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

Obtenez deux cosinus hyperboliques et réécrivez les autres cosinus hyperboliques en fonction de la tangente hyperbolique en utilisant la formule $$$\cosh^{2}{\left(x \right)}=\frac{1}{1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{4}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}}{\cosh^{2}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

Soit $$$u=\tanh{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\tanh{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \operatorname{sech}^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\operatorname{sech}^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}}{\cosh^{2}{\left(x \right)} \tanh^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1 - u^{2}}{u^{2}} d u}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{1 - u^{2}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d u} + \int{\frac{1}{u^{2}} d u}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\int{\frac{1}{u^{2}} d u} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{\frac{1}{u^{2}} d u} - {\color{red}{u}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=-2$$$ :

$$- u + {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=- u + {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=- u + {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=- u + {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=- u + {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\tanh{\left(x \right)}$$$ :

$$- {\color{red}{u}}^{-1} - {\color{red}{u}} = - {\color{red}{\tanh{\left(x \right)}}}^{-1} - {\color{red}{\tanh{\left(x \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \tanh{\left(x \right)} - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \tanh{\left(x \right)} - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sinh^{2}{\left(x \right)} \cosh^{2}{\left(x \right)}}\, dx = \left(- \tanh{\left(x \right)} - \frac{1}{\tanh{\left(x \right)}}\right) + C$$$A