Intégrale de $$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{3}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 3 du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=3$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{3}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

Réécrivez l'intégrande en fonction de la cosécante:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = 3 {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ est $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ :

$$3 {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{3}$$$ :

$$- 3 \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 3 \cot{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x} = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x} = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}\, dx = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)} + C$$$A