Intégrale de $$$\frac{1}{- k^{2} + r^{2}}$$$ par rapport à $$$k$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{- k^{2} + r^{2}}\, dk$$$.

Effectuer la décomposition en fractions partielles:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{- k^{2} + r^{2}} d k}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 r \left(k + r\right)} + \frac{1}{2 r \left(- k + r\right)}\right)d k}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 r \left(k + r\right)} + \frac{1}{2 r \left(- k + r\right)}\right)d k}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \int{\frac{1}{2 r \left(k + r\right)} d k}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(k \right)}\, dk = c \int f{\left(k \right)}\, dk$$$ avec $$$c=\frac{1}{2 r}$$$ et $$$f{\left(k \right)} = \frac{1}{k + r}$$$ :

$$\int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 r \left(k + r\right)} d k}}} = \int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{k + r} d k}}{2 r}\right)}}$$

Soit $$$u=k + r$$$.

Alors $$$du=\left(k + r\right)^{\prime }dk = 1 dk$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dk = du$$$.

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{k + r} d k}}}}{2 r} = \int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2 r}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2 r} = \int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2 r}$$

Rappelons que $$$u=k + r$$$ :

$$\int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2 r} = \int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(k + r\right)}}}\right| \right)}}{2 r}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(k \right)}\, dk = c \int f{\left(k \right)}\, dk$$$ avec $$$c=\frac{1}{2 r}$$$ et $$$f{\left(k \right)} = \frac{1}{- k + r}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 r \left(- k + r\right)} d k}}} + \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{- k + r} d k}}{2 r}\right)}} + \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r}$$

Soit $$$u=- k + r$$$.

Alors $$$du=\left(- k + r\right)^{\prime }dk = - dk$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dk = - du$$$.

Ainsi,

$$\frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{- k + r} d k}}}}{2 r} = \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}}{2 r}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}}{2 r} = \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} + \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}}{2 r}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2 r} = \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2 r}$$

Rappelons que $$$u=- k + r$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2 r} = \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- k + r\right)}}}\right| \right)}}{2 r}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{- k^{2} + r^{2}} d k} = - \frac{\ln{\left(\left|{k - r}\right| \right)}}{2 r} + \frac{\ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{1}{- k^{2} + r^{2}} d k} = \frac{- \ln{\left(\left|{k - r}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{- k^{2} + r^{2}} d k} = \frac{- \ln{\left(\left|{k - r}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{k + r}\right| \right)}}{2 r}+C$$

$$$\int \frac{1}{- k^{2} + r^{2}}\, dk = \frac{- \ln\left(\left|{k - r}\right|\right) + \ln\left(\left|{k + r}\right|\right)}{2 r} + C$$$A