Intégrale de $$$\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x}}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{3^{\frac{2}{3}} \int{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x}}{3}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=- \frac{1}{3}$$$ :

$$\frac{3^{\frac{2}{3}} {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x}}}}{3}=\frac{3^{\frac{2}{3}} {\color{red}{\int{x^{- \frac{1}{3}} d x}}}}{3}=\frac{3^{\frac{2}{3}} {\color{red}{\frac{x^{- \frac{1}{3} + 1}}{- \frac{1}{3} + 1}}}}{3}=\frac{3^{\frac{2}{3}} {\color{red}{\left(\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}\right)}}}{3}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x}} d x} = \frac{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x}} d x} = \frac{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{2}+C$$

$$$\int \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$$$A