Intégrale de $$$\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Réécrivez le cosinus en utilisant la formule de l’angle double $$$\cos\left(x\right)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$$ et simplifiez.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 2 du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Réécrivez l'intégrande en fonction de la cosécante:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ est $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{2}$$$ :

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x} = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x} = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A