Intégrale de $$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$.

Par conséquent,

$$- {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u^{2}} d u}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=-2$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}={\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}={\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$ :

$$- {\color{red}{u}}^{-1} = - {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{-1}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)d x} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)d x} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} + C$$$A