Intégrale de $$$- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$$

Déterminez $$$\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}{4}\right)}}$$

Soit $$$u=2 x$$$.

Alors $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{4}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{8} = - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{8}$$

Rappelons que $$$u=2 x$$$ :

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{8}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)d x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)d x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+C$$

$$$\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + C$$$A