Intégrale de $$$- \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \left(- \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}\right)\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(\frac{x}{y} \right)} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = y du$$$.

Par conséquent,

$$- {\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{x}{y} \right)} d x}}} = - {\color{red}{\int{y \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=y$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{y \cos{\left(u \right)} d u}}} = - {\color{red}{y \int{\cos{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$- y {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = - y {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{y}$$$ :

$$- y \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = - y \sin{\left({\color{red}{\frac{x}{y}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}\right)d x} = - y \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}\right)d x} = - y \sin{\left(\frac{x}{y} \right)}+C$$

$$$\int \left(- \cos{\left(\frac{x}{y} \right)}\right)\, dx = - y \sin{\left(\frac{x}{y} \right)} + C$$$A