Intégrale de $$$- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}$$$

Déterminez $$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)\, dx$$$.

Simplifier l’intégrande:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}}\right)d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x}}{2}\right)}}$$

Soit $$$x=2 \sin{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dx=\left(2 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \cos{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

L’intégrande devient

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( u \right)}}$$$

Ainsi,

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{u}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)d x} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)d x} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)\, dx = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + C$$$A