Intégrale de $$$f^{2} x^{n}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int f^{2} x^{n}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=f^{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{n}$$$ :

$${\color{red}{\int{f^{2} x^{n} d x}}} = {\color{red}{f^{2} \int{x^{n} d x}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=n$$$ :

$$f^{2} {\color{red}{\int{x^{n} d x}}}=f^{2} {\color{red}{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}}=f^{2} {\color{red}{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}}$$

Par conséquent,

$$\int{f^{2} x^{n} d x} = \frac{f^{2} x^{n + 1}}{n + 1}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{f^{2} x^{n} d x} = \frac{f^{2} x^{n + 1}}{n + 1}+C$$

$$$\int f^{2} x^{n}\, dx = \frac{f^{2} x^{n + 1}}{n + 1} + C$$$A