Intégrale de $$$\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}$$$

Déterminez $$$\int \frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x e^{- \frac{3 x}{4}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}{2}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{3 x}{4}} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}=- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$$\frac{{\color{red}{\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right) \cdot 1 d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{4 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)d x}\right)}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{4}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{4}}$$$ :

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)d x}}}}{2} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}{3}\right)}}}{2}$$

Soit $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{3 x}{4}\right)^{\prime }dx = - \frac{3 dx}{4}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - \frac{4 du}{3}$$$.

Par conséquent,

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}}}{3} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}}{3}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{4}{3}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}}{3} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{3}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$ :

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{{\color{red}{\left(- \frac{3 x}{4}\right)}}}}{9}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}+C$$

$$$\int \frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}\, dx = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9} + C$$$A